Leerplan 3e graad 6-8u – Wiskundeplan

We bieden het leerplan aan in drie versies. Naast de volledige versie is er een beknopte versie die enkel de leerplandoelen met inhoudelijke wenken en linken bevat en tot slot ook een minimale versie met louter de leerplandoelen.

Versie	Volledig	Beknopt	Mini
Algemene inleiding	✓
Duiding voor de leerkracht	✓
Leerplandoelen	✓	✓	✓
+ wenken	✓	✓
Concordantietabel	✓
(versie augustus ’24)

Deze versies zullen doorheen het schooljaar ’24-’25 niet meer wijzigen.

De tabel hieronder bevat de leerplandoelen. Voor meer informatie over de status van uitbreidingsdoelen, het verband met de minimumdoelen enz. verwijzen we naar de volledige versie hierboven. Die versie bevat ook een aantal keuzeonderwerpen voor richtingen met meer dan 6 lesuren per week. Alle leerplandoelen zijn ook opgenomen in Smartschool voor gebruik in de lesfiches.

Meetkunde

Vectoren in de ruimte (8 u)

Rekenen met vectoren en hun coördinaten in de ruimte: optelling, vermenigvuldiging met een getal (scalaire vermenigvuldiging) en inproduct (scalair product).
De norm van een vector berekenen en meetkundig interpreteren.
Een vector ontbinden in zijn componenten.
(U6) Vectoren gebruiken om problemen op te lossen en eigenschappen te bewijzen.
(U8) Het uitproduct (vectorieel product) van vectoren definiëren, berekenen en interpreteren.
(U8) Het uitproduct gebruiken om loodrechte stand van rechten en vlakken te onderzoeken.

Vergelijkingen van rechten en vlakken in de ruimte (10 u)

Van rechten en vlakken in de ruimte vectoriële, parameter- en cartesiaanse vergelijkingen opstellen.
De onderlinge ligging van twee rechten, van rechte en vlak en van twee vlakken in de ruimte bepalen met behulp van vergelijkingen.

Afstanden en hoeken in de ruimte (12 u)

De formule voor de afstand tussen twee punten in de ruimte bewijzen. Afstanden tussen punten, rechten en vlakken in de ruimte berekenen en gebruiken bij het oplossen van problemen.
Hoeken tussen rechten, tussen rechte en vlak en tussen vlakken definiëren en berekenen.
Loodrechte stand van rechten en vlakken onderzoeken (met behulp van vergelijkingen) en gebruiken in toepassingen.
(U8) De onderlinge ligging bepalen van een bol en een vlak en van twee bollen.

Algebra

Reële getallen (5 u)

N-demachtswortels berekenen en de rekenregels formuleren en bewijzen.
Machten met rationale exponenten berekenen en de rekenregels formuleren.
(U8) De rekenregels van machten met rationale exponenten bewijzen.

Matrices en stelsels (23 u)

Bewerkingen met matrices uitvoeren en gebruik maken van de eigenschappen van de bewerkingen: transpositie (transponeren), optelling en aftrekking, scalaire vermenigvuldiging, matrixvermenigvuldiging en machtsverheffing.
Matrixmodellen gebruiken om evoluties te beschrijven en hierbij grafen door matrices voorstellen.
Stelsels van eerstegraadsvergelijkingen oplossen met de methode van Gauss-Jordan.
De rang van een matrix berekenen en in verband brengen met het aantal oplossingen van het bijbehorend stelsel.
De inverse van een inverteerbare matrix $A$ berekenen door de matrix $[A∣I]$ te rijherleiden naar de matrix $[I \mid A^{-1}]$.
Determinanten van vierkante matrices berekenen met behulp van cofactoren.
De determinant van een matrix in verband brengen met zijn inverteerbaarheid, rang en rijgereduceerde echelonvorm.
(U6) Eigenschappen van determinanten formuleren en bewijzen, o.a. het effect van elementaire rijoperaties (of kolomoperaties) op de determinant, determinant van een product (zonder bewijs), determinant van de getransponeerde en inverse…
(U6) De regel van Cramer voor het oplossen van stelsels formuleren en concreet bewijzen voor $2\times 2$- of $3\times 3$-stelsels.
(U6) Determinanten gebruiken in meetkundige toepassingen, zoals het opstellen van de vergelijking van een rechte in het vlak en het berekenen van de oppervlakte van een driehoek.
(U8) Het verband leggen tussen de rijruimte van een matrix en de rang van die matrix.
(U8) Eigenwaarden en eigenvectoren van vierkante matrices berekenen en gebruiken in concrete toepassingen.

Complexe getallen (15 u)

Complexe getallen definiëren en voorstellen in het vlak.
Bewerkingen met complexe getallen in cartesiaanse vorm uitvoeren: optelling en aftrekking, vermenigvuldiging en deling.
Tweedegraadsvergelijkingen met reële coëfficiënten in één complexe onbekende oplossen.
Een complex getal van cartesiaanse naar goniometrische vorm omzetten en omgekeerd.
Bewerkingen met complexe getallen in goniometrische vorm uitvoeren: vermenigvuldiging en deling.
Machten met gehele exponent berekenen met de formule van de Moivre.
N-demachtswortels van complexe getallen berekenen.
(U8) Eigenschappen van complexe veeltermen bewijzen en gebruiken.
(U8) Meetkundige eigenschappen bewijzen of vraagstukken oplossen door gebruik te maken van het verband tussen bewerkingen met complexe getallen en verschuivingen, rotaties en homothetieën.

Algebraïsche structuur: de vectorruimte $\RR, \RR^n, +$ (17 u)

N-tallen optellen en vermenigvuldigen met een reëel getal.
De eigenschappen van deze bewerking onderzoeken en koppelen aan het algemeen begrip ‘reële vectorruimte’.
De definitie van lineaire combinatie van n-tallen formuleren en toepassen. Nagaan dat de opspanning van een aantal vectoren opnieuw een reële vectorruimte vormt, die we een deelruimte van $\RR, \RR^n, +$ noemen.
Onderzoeken of een verzameling n-tallen lineair afhankelijk of onafhankelijk is en een lineair afhankelijke verzameling uitzuiveren tot ze lineair onafhankelijk is.
Een basis en de dimensie van een deelruimte van $\RR, \RR^n, +$ bepalen.

Analyse

Precalculus (62 u)

Algemeen (5 u)

De kenmerken van een functie analyseren, minstens met behulp van de grafiek, en in verband brengen met de betekenisvolle situatie die door de functie wordt beschreven: (praktisch) domein; (praktisch) bereik; nulwaarden; snijpunt met de y-as; tekenverloop; stijgen, dalen, constant; extrema; constante, toenemende of afnemende stijging en daling; symmetrie; periode; amplitude; asymptotisch gedrag; gedrag op oneindig.
Het verband onderzoeken tussen de grafieken van $f(x)+k$, $f(x-k)$, $f(\frac{x}{k})$, $k\cdot f(x)$ en een spiegeling om de assen, een horizontale of verticale uitrekking of verschuiving van de grafiek van $f(x)$.
(U8) De symmetrie van de grafiek van een functie ten opzichte van een verticale as verschillend van de y-as of een punt verschillend van de oorsprong aantonen.
(U8) De invloed onderzoeken van het verschuiven van een assenstelsel op het voorschrift van een functie.
Bewerkingen met functies uitvoeren: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen met een reëel getal, vermenigvuldigen, delen en samenstellen.
Het begrip inverse functie definiëren en grafisch het verband leggen tussen inverteerbare functies en hun inverse.

Veeltermfuncties (7 u)

De grafiek en het voorschrift in verband brengen met de kenmerken van de functie.
Veeltermvergelijkingen grafisch en algebraïsch oplossen.
Veeltermongelijkheden grafisch en algebraïsch oplossen.

Rationale functies (9 u)

De grafiek en het voorschrift in verband brengen met de kenmerken van de functie.
Rationale vergelijkingen grafisch en algebraïsch oplossen.
Rationale ongelijkheden grafisch oplossen.
(U6) Rationale ongelijkheden algebraïsch oplossen.

Irrationale functies (5 u)

De grafiek en het voorschrift in verband brengen met de kenmerken van de functie.
(U8) Enkele bijzondere irrationale functies met als grafiek (een deel van) een ellips, hyperbool of parabool onderzoeken.
Irrationale vergelijkingen grafisch en algebraïsch oplossen.
Irrationale ongelijkheden grafisch oplossen.
(U8) Irrationale ongelijkheden algebraïsch oplossen.

Exponentiële functies (6 u)

Exponentiële groei wiskundig beschrijven, met begrippen als beginwaarde en groeifactor of groeipercentage en modellen voor exponentiële groei gebruiken.
Kenmerken analyseren van de functie $f(x)=a^x$: domein, bereik, stijgen/dalen, toenemende stijging/afnemende daling, horizontale asymptoot en gedrag op oneindig.
Transformaties gebruiken om vanuit de grafiek van $f(x)=a^x$ die van $f(x)=b⋅a^x+c$ op te bouwen, de invloed van de parameters onderzoeken en in verband brengen met kenmerken van de functie.
Exponentiële vergelijkingen grafisch en algebraïsch oplossen.
Exponentiële ongelijkheden grafisch oplossen.
(U8) Exponentiële ongelijkheden algebraïsch oplossen.

Logaritmische functies (7 u)

De logaritme met grondtal a definiëren in symbolen en in woorden.
De rekenregels voor logaritmen en de formule voor het veranderen van grondtal formuleren (in woorden en symbolen), bewijzen en gebruiken in toepassingen.
De grafiek en het voorschrift van functies $f(x)=\log_a (x)$ en eenvoudige transformaties ervan in verband brengen met kenmerken van deze functies.
Logaritmische vergelijkingen grafisch en algebraïsch oplossen.
Logaritmische ongelijkheden grafisch oplossen.
Vraagstukken oplossen die aanleiding geven tot exponentiële en logaritmische functies.
(U8) Logaritmische ongelijkheden algebraïsch oplossen.

Goniometrische functies (20 u)

De radiaal definiëren en omzettingen tussen graden en radialen uitvoeren.
De grafiek van de sinus-, cosinus-, tangens- en cotangensfunctie vanuit de goniometrische cirkel tekenen.
Transformaties gebruiken om de grafiek van de algemene sinusfunctie met voorschrift $f(x)=a\cdot \sin⁡(b(x-c))+d$ op te bouwen uit die van $f(x)=\sin x$, de invloed van de parameters onderzoeken en koppelen aan kenmerken als amplitude, periode, frequentie, evenwichtslijn, faseverschuiving.
De kenmerken van de functies $f(x)=\sin x$, $f(x)=\cos x$, $f(x)=\tan x$, $f(x)=\cot x$, evenals de algemene sinusfunctie, analyseren door ze in verband te brengen met de grafiek en het voorschrift.
De algemene sinusfunctie gebruiken in vraagstukken over periodieke fenomenen.
Som- en verschilformules, verdubbelingsformules en formules van Simpson afleiden en gebruiken om uitdrukkingen te vereenvoudigen en identiteiten te bewijzen.
Goniometrische vergelijkingen grafisch en algebraïsch oplossen.
Goniometrische ongelijkheden grafisch oplossen.
(U8) Goniometrische ongelijkheden algebraïsch oplossen.

Cyclometrische functies (4 u)

Het verband tussen de goniometrische functies en de bijbehorende cyclometrische functies bespreken aan de hand van hun grafieken.
De grafiek en het voorschrift van een cyclometrische functie in verband brengen met de kenmerken van de functie.
(U8) Cyclometrische vergelijkingen algebraïsch oplossen.

Limieten (12 u)

Limieten, linkerlimieten en rechterlimieten van functies grafisch interpreteren en bepalen.
Limieten van functies formeel definiëren met $\varepsilon$-$\delta$ en interpreteren.
De rekenregels voor limieten formuleren en gebruiken bij het algebraïsch berekenen van limieten van functies.
(U8) De rekenregels voor limieten bewijzen.

Asymptoten (5 u)

Verticale asymptoten, perforaties en horizontale asymptoten definiëren, berekenen met limieten en hiermee het asymptotisch gedrag van functies analyseren.
(U6) Schuine asymptoten definiëren en berekenen met limieten.

Continuïteit (3 u)

Continuïteit van een functie in een punt en in een interval definiëren, onderzoeken en grafisch interpreteren.
(U8) Enkele fundamentele stellingen formuleren, interpreteren en beargumenteren, zoals de tussenwaardestelling van Bolzano, de extremumstelling van Weierstrass, fixpuntstelling…

Afgeleiden (38 u)

De afgeleide van een functie interpreteren als ogenblikkelijke verandering, als richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek en als limiet van een differentiequotiënt.
Grafisch het verband leggen tussen een functie en haar afgeleide functie.
De afleidbaarheid van functies grafisch onderzoeken.
Het verband tussen afleidbaarheid en continuïteit formuleren en bewijzen.
De formules voor de afgeleide functies van de basisfuncties uit de precalculus formuleren en bewijzen.
De rekenregels voor afgeleiden (afgeleide van een som, verschil, product, quotiënt van functies en van een samengestelde functie) formuleren, bewijzen en gebruiken om de afgeleide functie te berekenen van functies die zijn opgebouwd uit veeltermfuncties, rationale, irrationale, exponentiële, logaritmische en goniometrische functies.
De stelling van Rolle en de middelwaardestelling van Lagrange formuleren en interpreteren.
Aspecten van het verloop van functies (stijgen, dalen, extrema, hol, bol, buigpunten) analyseren aan de hand van de eerste en tweede afgeleide functie.
Extremumproblemen oplossen.
De regel van de l’Hôpital formuleren en gebruiken om limieten te berekenen.
(U8) De afgeleide van impliciet gedefinieerde functies berekenen door impliciet afleiden.

Integralen (30 u)

De bepaalde integraal interpreteren als de georiënteerde oppervlakte tussen een grafiek en de x-as over een interval.
De bepaalde integraal interpreteren als de limiet van een riemannsom.
Het verband leggen tussen bepaalde integralen en primitieve functies, steunend op de middelwaardestelling en de hoofdstelling van de integraalrekening.
Onbepaalde integralen van functies berekenen door middel van onmiddellijke integratie, splitsing, substitutie en partiële integratie.
(U6) Onbepaalde integralen van functies berekenen door middel van splitsen in partieelbreuken.
(U8) Onbepaalde integralen van functies berekenen door middel van extra substitutiemethodes zoals goniometrische substitutie en t-formules.
Bepaalde integralen van functies berekenen en gebruiken in concrete toepassingen, met inbegrip van oppervlakte, volume van een omwentelingslichaam, booglengte van een kromme en toepassingen uit de wetenschappen.
(U6) Bepaalde integralen gebruiken om het volume van een niet-omwentelingslichaam te bepalen.
(U6) Het integraalbegrip uitbreiden: oneigenlijke integralen en integralen van discontinue functies.

Kansrekening en statistiek

Kansrekening (15 u)

De begrippen uitkomst, uitkomstenverzameling en gebeurtenis definiëren.
Het verband leggen tussen de relatieve frequentie van een gebeurtenis en de kans op die gebeurtenis.
Kansen berekenen met de formule van Laplace.
Kanswetten formuleren en toepassen: somregel, productregel, complementregel.
Kansen bepalen met behulp van kansbomen, kruistabellen en venndiagrammen.
Voorwaardelijke kansen berekenen met de regel van Bayes.
Nagaan of gebeurtenissen afhankelijk of onafhankelijk zijn.
(U8) Illustreren dat kansen en kanswetten axiomatisch opgebouwd kunnen worden uit de axioma’s van Kolmogorov.
De begrippen stochast (kansvariabele, toevalsvariabele) en kansverdeling omschrijven. De kansverdeling van een discrete stochast opstellen en de verwachtingswaarde en standaardafwijking ervan berekenen.
(U8) De verwachtingswaarde en standaardafwijking van een continue stochast definiëren en hetverband leggen met de formules voor een discrete stochast.
De binomiale verdeling in concrete kansvraagstukken interpreteren en gebruiken om kansen te berekenen.
De normale verdeling als continue kansverdeling gebruiken om kansen te berekenen.
(U6) Andere kansverdelingen interpreteren en gebruiken om kansen te berekenen, zoals de hypergeometrische verdeling, de poissonverdeling, de t-verdeling.

Statistiek (14 u)

Het belang verklaren van randomisatie en representativiteit bij een steekproefontwerp voor het formuleren van statistische besluiten over een populatie en uitleggen wat een enkelvoudig aselecte steekproef is.
De normale verdeling gebruiken als continu model bij gegeven data en de toepasbaarheid van het model grafisch beoordelen. Hierbij het gemiddelde en de standaardafwijking van de gegevens gebruiken als schatting voor de parameters van het model. De parameters grafisch interpreteren via de symmetrieas en de buigpunten van de gausskromme.
Gestandaardiseerde waarden of z-scores van gegevens gebruiken en ze in verband brengen met de standaardnormale verdeling.
De begrippen steekproefresultaat, steekproevenvariabiliteit en steekproevenverdeling uitleggen aan de hand van voorbeelden.
De normale verdeling gebruiken als model voor de steekproevenverdeling bij steekproefproporties en/of steekproefgemiddelden.
(U8) Met de begrippen uit de kansrekening een exacte steekproevenverdeling voor proporties opstellen.
In een concrete situatie hypothesen toetsen: de nulhypothese en alternatieve hypothese in verband met een populatieproportie en/of populatiegemiddelde formuleren; aan de hand van de steekproevenverdeling de P-waarde van een steekproefresultaat berekenen; het begrip significantieniveau gebruiken bij het al dan niet verwerpen van de nulhypothese.
Een betrouwbaarheidsinterval met een gewenst betrouwbaarheidsniveau opstellen bij een gevonden steekproefresultaat en de betekenis hiervan uitleggen.
In concrete situaties het verschil tussen correlatie (samenhang) en causaliteit uitleggen.

Discrete wiskunde

Rijen (18 u)

Basisbegrippen over rijen kunnen toepassen, zoals een recursief voorschrift en expliciet voorschrift (formule voor de algemene term) opstellen.
Het recursief en expliciet voorschrift van rekenkundige en meetkundige rijen opstellen en gebruiken om patronen te beschrijven.
De formule voor de som van de eerste n termen van een rekenkundige en meetkundige rij bewijzen en gebruiken in toepassingen.
De limiet van een rij grafisch interpreteren en koppelen aan de begrippen convergentie en divergentie.
Het limietbegrip formeel definiëren met de $\varepsilon$-$N$-definitie.
De rekenregels voor limieten formuleren en gebruiken bij het algebraïsch berekenen van limieten van rijen.
(U8) De rekenregels voor limieten van rijen bewijzen.
(U8) Limieten berekenen van recursief gedefinieerde rijen.
(U6) Het begrip meetkundige reeks omschrijven en de formule voor de reekssom afleiden en gebruiken in toepassingen.

Telproblemen (13 u)

Formules en schema’s gebruiken om telproblemen met en zonder volgorde en met en zonder herhaling op te lossen.
In de driehoek van Pascal patronen herkennen, bewijzen en gebruiken in oefeningen.
De formule voor het binomium van Newton bewijzen en gebruiken in oefeningen.
(U8) Het ladenprincipe van Dirichlet gebruiken om problemen op te lossen.